Zenon Eleakoa eta higiduraren paradoxak: Akiles eta dordoka

Dordoka Akilesi ziria sartu guran zebilen. Ezetz irabazi lasterka batean, bota zion,100 metroko abantaia emanez gero. Akilesek onartu ere, harro-harro. Orduan dordokak argudio hau agertu zuen: harrapatzea ezinezkoa izanen duzu, 100 metroko aldea gainditu orduko ni aurrerago egonen naizelako, eta alde berri hori gainditu orduko, berriz ere aurrerago… eta hola beti. Azkenean Akiles kikildu omen eta ez zuen korritu izan nahi.

Bistan da dordoka oker dagoela, baina zergaitik sortzen du halako intuizio liluragarri bat haren argudioak? Berez, problema matematiko baten aurrean gaude. Eta hori ebazteko modu bat baino gehiago badira (ikusi, esaterako, Max Blackena). Hemen serie konbergenteen bidez ebatziko dugu, horrela paradoxaren magnetismoa hobeki azaltzen delakoan. Ahalik eta modu simpleen eginen dugu. Harira.

Intro (ezin laburrago)

Zenon Eleakoa nor zen: Zenon Eleakoa K.a 490. eta 430. urteen artean Elean bizi zen. Parmenidesen ikasle zintzoa izan zen, eta politikagintzan ere aritu zen. Diogenes Laerzioren arabera tirano bati aurre emateagatik hil omen zuten, ehoturik.

Haren pentsamenduaz: Eleako eskolakoa eta Parmenidesen defendatzaile sutsua izanik, zentzumenak oso fidagarriak ez zirelakoan zegoen, eta hori frogatzeko zenbait paradoxa asmatu zituen. Haien artean ezagunenak, higidura baden ukatzen dutenak dira. Horien bidez higidura benetan existitzen ez dela, eta mugimendua ilusio bat besterik ez dela erakusten ahalegindu zen Zenon.

Akiles eta dordoka: Zenonen paradoxeen artean oso ezaguna da Akiles eta dordokarena. Haren berri Aristotelesi esker daukagu.

Paradoxaren formulazioa

Dordoka 100 metro aurrerago hasiko da lasterka. Akiles, dordokaren lasterka hasi den tokiraino iritsi orduko, dordoka aurrerago egonen da, beste toki batean. Akiles toki berri horretara iritsi orduko, dordoka berriz ere aurrerago egonen da, beste toki batean. Akiles toki berritara iritsi orduko, dordoka berriz ere aurrerago… eta horrela behin eta berriz. Hala izanik, Akilesek ez du inoiz dordoka harrapatuko, eta lasterka galduko du.

Azalpen laburra

Jakinda Akilesek irabazi behar duela bai ala bai, galdera hemen zera da, zertan datzan katramila guzti hau.

Nire uste apalean, “iritsi orduko” esamoldean gakoa dago. Dordokak dio harrapatzeko denbora ( $T$ ) infinitua dela, $T$ hori baita batura infinitu baten emaitza:

$T= t_1 + t_2 + t_3 +\ldots$

$T$ infinitua baldin bada, harrapatzeko lana amaigabea da eta ez da inoiz burutuko.

Dordokak uste du infinitu batugai dituen batura orok emaitza infinitu duela. Baina oker dabil. Badira emaitza finitua duten infinitu batugaiez osaturiko batuerak. Serie berezi batzuetan horixe bera gertatzen da, eta horregatik serie konbergenteak deitzen diogu.

Hona adibidea: hartu paper bat eta moztu erditik. Gero, gelditzen diren bi erdi horietariko bat hartu eta berriz ere moztu erditik. Eta horrela egin milaka aldiz, infinituraino. Gelditzen diren paper apurrak serie konbergente bat osatzen dute. Serie infinitua da, baina haren emaitza 1 da.

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\ldots = 1$

Froga matematikoa

Abiadura konstantea bada, hiru datu besterik ez dugu jakin behar:

$v_A$ : Akilesen abiadura
$v_d$ : dordokaren abiadura ( $v_d < v_A$ )
$d$ : hasierako abantaia

Dordokak dio Akiles iritsi orduko bera aurreratuago egonen dela. Hortaz arazoa denborarena da. Arazoa ebazteko iterazio bat eginen dugu, dordokak proposatzen duena, hain zuzen ere. Lehendabizi $t_1$ kalkulatuko dugu. $t_1$ zera da: Akilesek hasieran dordoka zegoen tokirano iristeko behar duen denbora, hau da, $d$ egiteko behar duen denbora. Hortaz:

$t_1 = \frac{d}{v_A}$

Akilesek $d$ egiten ari den bitartean dordokak zenbait metro aurreratzen du. Aurreratzen duen distantzia horri $d_1$ deituko diogu. Hortaz:

$d_1 = v_d t_1$

Orain Akilesek beste denbora tarte bat behar du $d_1$ egiteko, dordoka harrapatu nahi badu. Denbora tarte hori $t_2$ da.

$t_2 = \frac{d_1}{v_A} = \frac{v_d t_1}{v_A} = \frac{v_d \frac{d}{v_A}}{v_A} = \frac{v_d d}{v_A^2}$

Jakina, $t_2$ tarte horretan dordokaren lasterkak ez du etenik. Berak egindako distantzia berria $d_2$ da. Beraz:

$d_2 = v_d t_2$

Eta berriz ere Akilesek beste denbora tarte bat beharko du $d_2$ distantzia hori egiteko. Tarte hori $t_3$ da.

$t_3 = \frac{d_2}{v_A} = \frac{v_d t_2}{v_A} = \frac{v_d \frac{v_d d}{v_A^2}}{v_A} = \frac{v_d^2 d}{v_A^3}$

Indukzio bidezko arrazoinamenduaz, bistan da zein den denbora tartea $n$ -garren iterazioan:

$t_n = \frac{v_d^{n-1} d}{v_A^n}$

Akilesi dordoka harrapatzea kostatuko zaion denbora $t_1 + t_2 + t_3 + \ldots$ izanen da. Hortaz:

$T = t_1 + t_2 + t_3 + \ldots = \sum_{n=1}^\infty t_n = \sum_{n=1}^\infty \frac{v_d^{n-1} d}{v_A^n}$

Gogoan izan: $T$ hau aldea deusestatzeko behar den denbora da. $T=\infty$ bada, Akilesek ez du sekulasantan dordoka harrapatuko. $T < \infty$ bada, noizbait ere Akilesek dordoka harrapatuko du.

Orain, kontua zera da: ea $t_1 + t_2 + t_3 + \ldots$ seriea konbergentea den ala ez, hau da, ea batuera honen emaitza finitua den ala ez. Horretarako d’Alambert-en irizpidea erabiliko dugu. Honek zera dio:

$\sum_{n=1}^\infty f(n)$

non:

(a) $f(n)$ $>$ $0$ eta
(b) $f(n)$ $0$ -ra hurbiltzen da $n$ $\infty$ -ra hurbiltzen bada.

Orduan $L$ -k esanen du nolakoa den seriea, non $L=\lim_{n\to \infty}\frac{f(n+1)}{f(n)}$

$L < 1$ bada, seriek konbergitzen du
$L > 1$ bada, seriek dibergitzen du
$L=1$ bada, irizpideak ez digu informaziorik ematen

(a) eta (b) baldintzak betetzen direnez, irizpidea erabiltzea badugu:

$L=\lim_{n\to \infty}\frac{f(n+1)}{f(n)} = \lim_{n\to \infty}\frac{\frac{v_d^{n} d}{v_A^{n+1}}}{\frac{v_d^{n-1} d}{v_A^{n}}} = \frac{v_d}{v_A}$

Hortaz seriea konbergentea da, $v_d < v_A$ baita!!!

Eta nola kalkulatzen da $T$ ???:

$T = \sum_{n=1}^\infty \frac{v_d^{n-1} d}{v_A^n} = \frac{d}{v_d} \sum_{n=1}^\infty (\frac{v_d}{v_A})^n$

Zorionez badakigu zer den azken sumatorio hau. Serie geometriko bat da! Eta arrazoia $\frac{v_d}{v_A}$ du! Orduan haren emaitza erraz kalkulatzen da:

$\sum_{n=1}^\infty (\frac{v_d}{v_A})^n = \frac{1}{1-\frac{v_d}{v_A}}-1$

Horrexegatik:

$T = \frac{d}{v_d} \frac{1}{\frac{v_A}{v_d} -1}$

Jakina, $d$ , $v_d$ eta $v_A$ -ren araberakoa dugu $T$ .

Amaitzeko, kalkula dezagun Akilesek dordoka harrapatzeko ibili behar duen distantzia $D$ .

$D= v_A T = \frac{v_A}{v_d} \frac{d}{\frac{v_A}{v_d}-1}$

Adibidez, $d = 100m$ eta $v_A=10v_d$ badugu, orduan:

$D=10\frac{100}{10-1} = 111,11\ldots m$

Irakaspena

Zerk dio egun Zenonen paradoxak? Sustantzialismo baten aldetik, ezer gutxi. Prozesista batek esan dezake higidura baino, gelditasuna dela ilusioa, Geldoa dirudiena ere, mugimenduan baitago. Dena zahartzen doa, behar den beta emanez gero.

Baina hortaz aparte eta garrantzi handiago duena, irakaspen metafilosofiko bat aipatu behar da. Paradoxari itxieraren hatsa dario. Filosofia erretiradan dagoen zerbait da. Translazio etengabean. Hala ere, beldurrik ez. Erretiratze hortan, baztertze hortan, galderak biderkatzen dira. Filosofia handitzen da.